Question

【題目】已知拋物線x2=2py上點（2，2）處的切線經過橢圓 的兩個頂點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的上頂點A的兩條斜率之積為﹣4的直線與該橢圓交于B，C兩點，是否存在一點D，使得直線BC恒過該點？若存在，請求出定點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若△ABC的重心為G，當邊BC的端點在橢圓E上運動時，求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（2，2）代入拋物線方程x2=2py，得22=2p×2，解得p=1，

∴拋物線的方程為x2=2y；

∴y′=x，∴拋物線x2=2y在點（2，2）處的切線的斜率為y′|x=2=2，

∴拋物線在點（2，2）處的切線方程為y﹣2=2（x﹣2），化為y=2x﹣2．

它與兩坐標軸的交點分別為（1，0），（0，﹣2），由題意可得a=2，b=1．

∴橢圓的方程為

（2）解：假設直線BC恒過定點D，由題意可知直線BC的斜率必存在，故可設直線BC的方程為y=kx+m（m≠2）．

設B（x1，y1），C（x2，y2）．由（1）知A（0，2）．

聯立 消去y得到（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0，

由△＞0，得（2km）2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，化為k2﹣m2+4＞0．

∴ ，

∴kABkAC=

=

=

=

=

= = ．

由題意可得 ，解得m=0，滿足△＞0．

∴直線BC的方程為y=kx，直線BC恒過定點D（0，0）

（3）解：由（2）可知：原點（0，0）在直線BC上，

由橢圓的對稱性可知AO為△ABC的邊BC上的中線，由|AG|=2|GO|和A（0，2），得G點的坐標為 ．

∴ ．

∴|GA|2+|GB|2+|GC|2= + = = = ．

不妨設點C在y軸的右側，則x2∈（0，1]．

∴ ，即求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范圍是

【解析】（1）把（2，2）代入拋物線方程x2=2py，即可得到p，即可得到拋物線的方程．利用導數即可得到切線的斜率，利用點斜式即可得到切線方程，即可求出與坐標軸的交點坐標，即可得到a，b．可得橢圓的方程．（2）假設直線BC恒過定點D，由題意可知直線BC的斜率必存在，故可設直線BC的方程為y=kx+m（m≠2）．
設（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．由（1）知A（0，2）．把直線方程與橢圓方程聯立可得△＞0及根與系數的關系，再利用kABkAC= 即可得出m．進而可得答案．（3）利用橢圓的性質和三角形的重心性質即可得出．