Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）先證明面，再證明，最后得到平面平面.

（2）以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別計算法向量，利用向量的夾角公式得到答案.

解：（1）證明：因為，則，又側面底面，

面面，面，則面

面，則又因為，為平行四邊形，

則，又，則為等邊三角形，則為菱形，則

又，則面，面，則面面

（2）由平面把四面體分成體積相等的兩部分，

則為中點，取中點，連接，由知

由（1）知平面，以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

則中點為

設面的法向量為，則，

可取

設面的法向量為，則，

可取

設二面角的大小為，則，

則二面角的正弦值為.