Question

（2012•揚州模擬）若x≥0，y≥0，且x+2y=1，則x²+y²的取值范圍是

[

1

5

，1]

．

Answer 1

分析：由x+2y=1得x=1-2y，代入x²+y²得關于y的二次函數，因此可在閉區間[0，

1

2

]上求出函數的最大、最小值，從而得出x²+y²的取值范圍．

解答：解：∵x、y滿足x+2y=1，
∴x=1-2y，可得x²+y²=（1-2y）²+y²=5y²-4y+1
∵y≥0，x=1-2y≥0，∴0≤y≤

1

2

而5y²-4y+1=5（y-

2

5

）²+

1

5

由此可得，當y=

2

5

時，x²+y²取最小值

1

5

；當y=0時，x²+y²取最大值1
∴x²+y²的取值范圍是[

1

5

，1]
故答案為：[

1

5

，1]

點評：本題給出已知等式x+2y=1，求x²+y²的最大最小值，著重考查了二次函數求閉區間上的最值的知識點，考查了消元的數學思想，屬于基礎題．