Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數，．

（1）討論函數的單調性，并寫出相應的單調區間；

（2）已知，，若對任意都成立，求的最大值；

（3）設，若存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) (3) 或．

【解析】

（1），討論a,確定單調性即可；（2）由（1）得，,對任意都成立，得，構造函數，（），求導求其最值即可求解；（3）設，即

題設等價于函數有零點時的的取值范圍，利用零點存在定理求解即可

（1）由，知．

若，則恒成立，所以在上單調遞增；

若，令，得，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減；在上單調遞增．

綜上，增區間是，無減區間

，增區間是，減區間是

（2）由（1）知，當時，．

因為對任意都成立，所以，

所以．

設，（），由，

令，得，

當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減，

所以在處取最大值，且最大值為．

所以，當且僅當，時，取得最大值為．

（3）設，即

題設等價于函數有零點時的的取值范圍．

① 當時，由，，所以有零點．

② 當時，若，由，得；

若，設h(x)=故h(x)單增，所以h(x)> h(0)=0,所以無零點．

③ 當時，，

又存在，，所以有零點．

綜上，的取值范圍是或．