Question

（2013•湖南模擬）已知f(x)=ax+

b

x

+3-2a(a，b∈R)的圖象在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行．
（1）求a與b滿足的關系式；
（2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行建立等式關系：f'（1）=3，即可求出a與b的關系式；
（2）先構造函數g（x）=f（x）-3lnx=ax+

a-3

x

+3-2a-3lnx，x∈[1，+∞），利用導數研究g（x）的最小值，討論a的范圍，分別進行求解即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=a-

b

x2

，
由于f(x)=ax+

b

x

+3-2a(a，b∈R)的圖象在點（1，f（1）處的切線與直線y=3x+1平行，
則有f′（1）=a-b=3，即b=a-3，
此時，f（1）=a+a-3+3-2a=0≠4，
（2）由f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，得
ax+

a-3

x

+3-2a-3lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=ax+

a-3

x

+3-2a-3lnx，x∈[1，+∞）
則g（l）=0，g′（x）=a-

a-3

x2

-

3

x

=

a(x- 3-a a )(x-1)

x2

．
（i）當a＞

3

2

，

3-a

a

≤l
則g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函數，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（ii）a=

3

2

時，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上是增函數，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（iii）當0＜a＜

3

2

，

3-a

a

＞l，
則x∈（1，

3-a

a

）時，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上是減函數，
x∈（

3-a

a

，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函數，
所以存在x₀∈（1，

3-a

a

），使得g（x₀）＜g（l）=0，即存在x₀∈（1，

3-a

a

），使得f（x₀）＞3lnx₀不成立，
綜上所述，所求a的取值范圍為[

3

2

，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，分類討論思想，屬于中檔題．