Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣ax﹣1．
（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使f（x）在（﹣1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣a，

要使f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，需3x2﹣a≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，

即a≤3x2在（﹣∞，+∞）上恒成立，∴a≤0．

因此當 f（x）在（﹣∞，+∞） 上單調遞增時，a 的取值范圍是（﹣∞，0]

（2）解：若f（x）在（﹣1，1）上單調遞減，

則對于任意 x∈（﹣1，1），不等式f′（x）=3x2﹣a≤0 恒成立，即 a≥3x2，

又 x∈（﹣1，1）時，3x2＜3，∴a≥3，

∴函數 f（x）在（﹣1，1）上單調遞減，實數a的取值范圍是[3，+∞）

【解析】（1）求出原函數的導函數，由導函數在（﹣∞，+∞）上大于等于0恒成立，分離參數a得答案；（2）求出原函數的導函數，分離參數a，求得3x2在（﹣1，1）上的最大值得答案．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．