Question

【題目】已知直線l1過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），且斜率為k，直線l2過(guò)點(diǎn)B（1，0），且斜率為﹣2k，其中k≠0，又直線l1與l2交于點(diǎn)M．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)N（ ，1）的直線l交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn)，且N為線段CD的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），

∵直線l1與l2交于點(diǎn)M，

∴聯(lián)立得： （k≠0），

消去k得： =﹣2，

則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為2x2+y2=2（x≠±1）

（2）解：由（1）得M的軌跡方程為2x2+y2=2（x≠±1），

設(shè)點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2），則有2x12+y12=2①，2x22+y22=2②，

①﹣②得：2（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，即 =﹣2× ，

∵N（ ，1）為CD的中點(diǎn)，

∴x1+x2=1，y1+y2=2，

∴直線l的斜率k=﹣1，

∴直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣ ），即2x+2y﹣3=0

【解析】（1）設(shè)M坐標(biāo)為（x，y），表示出兩直線方程，聯(lián)立消去k即可確定出M的軌跡方程；（2）設(shè)出C與D坐標(biāo)，分別代入M的軌跡方程，整理由根據(jù)N為CD中點(diǎn)，求出直線l斜率，即可確定出直線l方程．