Question

【題目】已知圓：內一點，點為圓上任意一點，線段的垂直平分線與線段連線交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于不同的兩點、，求的內切圓半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據線段中垂線的性質可得，|MP|＝|MQ|，又|MQ|＋|M|＝4，故有|M|＋|MP|＝4＞|P|，根據橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出值，即得橢圓的標準方程；

（2）設，，設的內切圓的半徑為，當最大，就最大，利用直線和橢圓的位置關系求出最大值，進而可得的最大值.

（1）由圓的方程可知，圓心（1，0），半徑等于4，設點M的坐標為，
∵PQ的垂直平分線交Q于M，
∴|MP|＝|MQ|．
又|MQ|＋|M|＝4（半徑），
∴|M|＋|MP|＝4＞|A|＝2．
∴點M滿足橢圓的定義，且2＝4，2＝2，
∴＝2，＝1，
，
∴點M的軌跡方程為；

（2）設，，設的內切圓的半徑為，因為的周長為，，因此最大，就最大，

，由題意知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

所以，，

又因直線與橢圓交于不同的兩點，故，即，，則，

令，則，

，令，

由函數的性質可知，函數在上是單調遞增函數，即當時，在上單調遞增，因此有，所以，

即當，時，最大，此時，故當直線的方程為時，內切圓半徑的最大值為.