Question

如圖，建立平面直角坐標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（Ⅰ）求炮的最大射程；
（Ⅱ）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求炮的最大射程即求  y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）與x軸的橫坐標，求出后應用基本不等式求解．
（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解．

解答： 解：（1）在 y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-

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（1+k²）x²=0．                  
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0．
∴x=

20k

1+k2

=

20

k+ 1 k

≤

20

2

=10當且僅當k=1時取等號．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標等價于存在 k＞0，使ka-

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（1+k²）a²=3.2成立，
即關于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韋達定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6．
此時，k=

20a± △

2a2

＞0．
∴當a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標

點評：本題考查的知識要點：函數模型的應用，基本不等式的應用，考察級學生解決實際問題的能力，屬于中檔題型．