Question

已知數列{a_n}前項和S_n且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）
（1）試求a₂，a₃，a₄
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法證明猜想．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由題意，計算可得a₂，a₃，a₄
（2）猜想an=

2

n(n+1)

，再用數學歸納法證明猜想．

解答： 解：（1）由題意，計算可得a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

（2）猜想an=

2

n(n+1)

證明如下：當n=1時，a₁=

2

1×2

=1，命題成立
假設當n=k（k∈N^*）時命題成立，即ak=

2

k(k+1)

當n=k+1時Sk+1=(k+1)2ak+1=SK+ak+1=k2ak+ak+1
整理得a k+1=

2

(k+1)(k+2)

所以當n=k+1時命題也成立
綜上，n∈N*時有an=

2

n(n+1)

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．