Question

(13分)
在平面直角坐標系xOy中，拋物線上異于坐標原點Ｏ的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足（如圖所示）．

（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；
（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）設△AOB的重心為G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則 （1）…1分
∵OA⊥OB ∴,即，(2)…………3分
又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得…4分
∴
所以重心為G的軌跡方程為……………………………………6分
（II）
由（I）得……11分
當且僅當即時，等號成立�！�……………………12分
所以△AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1； …………………13分

略