Question

已知函數F(x)=

3x-2

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（I）求F(

1

2013

)+F(

2

2013

)+F(

3

2013

)+…+F(

2012

2013

)；
（II）已知數列滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ） 求證：a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（I）證明F（x）+F（1-x）=3，利用倒序相加法，可得結論；
（II）證明{

1

an-1

}是以2為公差以

1

a1-1

=1為首項的等差數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）證明

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，即可得到結論．

解答：（I）解：因為F（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3
所以設S=F(

1

2013

)+F(

2

2013

)+F(

3

2013

)+…+F(

2012

2013

)（1）
S=F(

2012

2013

)+F(

2011

2013

)+F(

2010

2013

)+…+F(

1

2013

)（2）
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）解：由a_n+1=F（a_n），兩邊同減去1，得a_n+1-1=

an-1

2an-1

所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，
所以{

1

an-1

}是以2為公差以

1

a1-1

=1為首項的等差數列，
所以

1

an-1

=1+(n-1)×2=2n-1
所以an=

2n

2n-1

---------------（10分）
（III）證明：因為（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1）
所以

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

所以（a₁a₂a₃…a_n）²＞

2

1

•

3

2

•…

2n+1

2n

=2n+1
所以a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．----------------------------（14分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．