Question

甲、乙兩人進行圍棋比賽，規定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一方比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量的分布列和數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）根據題意將第二局比賽結束時比賽停止的兩種情況分析得到，然后利用互斥事件的概率公式求解; （Ⅱ）依題意知X的所有可能取值,然后利用獨立事件的概率公式求解概率.
試題解析：（Ⅰ）當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽停止，故，      3分
解得或.又，所以.      5分
（Ⅱ）依題意知X的所有可能取值為2,4,6。    6分
設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為，若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有
，
，
，    9分
則隨機變量的分布列為

X	2	4	6
P

故.    12分