Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c為實數，且c≠0
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)，n∈N*，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1對任意n∈N*成立，證明0＜c≤1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）需要觀察題設條件進行恒等變形，構造a_n-1=c（a_n-1-1）利用迭代法計算出數列的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論求出數列的通項，觀察知應用錯位相減法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的結論知a_n=（a-1）c^n-1+1．接合題設條件得出，0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．然后再用反證法通過討論得出c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題設得：n≥2時，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
當n=1時，a₁=a也滿足上式．
故所求的數列{a_n}的通項公式為：a_n=（a-1）c^n-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(

1

2

)n.Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n，

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4++n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1．
∴Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n
所以∴Sn=2-(n+2)(

1

2

)n．
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，則0＜（1-a）c^n-1＜1．
因為0＜a₁=a＜1，∴0＜cn-1＜

1

1-a

(n∈N+)．
由于c^n-1＞0對于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反證法證明c≤1．
假設c＞1．由函數f（x）=c^x的圖象知，當n→+∞時，c^n-1→+∞，
所以cn-1＜

1

1-a

不能對任意n∈N₊恒成立，導致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1

點評：本題主要考查數列的概念、數列通項公式的求法以及不等式的證明等；考查運算能力，綜合運送知識分析問題和解決問題的能力．第三問中特值法與反證法想接合，對做題方向與方法選取要求較高．是一個技能性較強的題．