Question

【題目】已知向量=(sin(A-B),2cosA)=(1,cos(-B))，且=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=sinC，且 ， 求c．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵=（sin（A﹣B），2cosA），=（1，cos（﹣B）），
∴=sin（A﹣B）+2cosAcos（﹣B）=sin（A+B），
又∵=﹣2sin2C，
∴sin（A+B）=﹣sin2C，
∵sin（A+B）=sinC，
∴sinC=﹣sin2C=﹣2sinCcosC，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴cosC=﹣，
又∵0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）∵sinA+sinB=sinC，由正弦定理得a+b=c，（1）；
S△ABC=absinC=ab=4，得ab=16，（2）
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得c2=a2+b2+ab，（3）
由（1）（2）（3）可得c=4．
【解析】（Ⅰ）A、B、C為△ABC的內角，利用向量數量積的坐標運算可求得=sin（A+B），與已知=﹣2sin2C聯立，即可求得角C的大小；
（Ⅱ）利用正弦定理知，a+b=c；由S△ABC=absinC=4可得ab=16，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC即可求得c的值．