Question

【題目】已知數列{an}前n項和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中a2≠0．
（Ⅰ）求證數列{an}是首項為1的等比數列；
（Ⅱ）當a2=2時，是否存在等差數列{bn}，使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2對一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵S1=a1 ， ∴S2=a1+a2=a2a1+a1 ，
得：a2=a2a1 ，
∵a2≠0，
∴a1=1，
由Sn+1=a2Sn+a1可得：Sn+2=a2Sn+1+a1 ， 減去前式，有an+2=a2an+1 ，
∴，
又也符合，
故對n∈N*恒成立，數列{an}是首項為1，公比為a2的等比數列．
（Ⅱ）解：a2=2=q，a1=1，
∴，
設存在等差數列{bn}．則有：①
②
將a1=1代入①，b1=1，
再結合a2=2代入②，b2=2，
故等差數列{bn}若存在，由b1=1、b2=2必有bn=n．
下面證明數列{bn}滿足題意．
設Tn=a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=1×n+2×（n﹣1）+22×（n﹣2）+…+2n﹣2×2+2n﹣1×1 ③
則2Tn=2×n+22×（n﹣1）+23×（n﹣2）+…+2n﹣1×2+2n×1 ④，
④﹣③有：Tn=﹣n+2+22+…2n=2n+1﹣n﹣2，
∴存在等差數列{bn}，bn=n使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2對一切n∈N*都成立
【解析】（Ⅰ）由S1=a1 ， S2=a1+a2=a2a1+a1 ， 可得a1=1，利用遞推式Sn+1=a2Sn+a1 ， Sn+2=a2Sn+1+a1 ， 可得an+2=a2an+1 ， 再利用等比數列的定義即可得出．
（II）a2=2=q，a1=1，可得： ， 設存在等差數列{bn}．則有： ， ， 可得b1=1，b2=2，故等差數列{bn}若存在，由b1=1、b2=2必有bn=n．再利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】掌握等比關系的確定和數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．