Question

【題目】設函數，，其中.

(1)若，證明：當時，；

(2)設，且，其中是自然對數的底數.

①證明恰有兩個零點；

②設如為的極值點，為的零點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）①證明見解析；②證明見解析；

【解析】

（1）將條件轉化，構造函數，通過導數證明，當時，即可；

（2）先求得，先判斷的增減性，設導數為零的點為，可證在內單調遞增，在內單調遞減，再結合（1）的性質可得，即，將代換可得，再結合（1）的性質放縮，即可求證

令

當時，，所以在上遞減，

又在上連續，

所以當時，，即當時，

(2)證明：①，得

令，由，

可知在內單調遞減，又，且

.

故在有唯一解，從而在內有唯一解，

不妨設為，則

當時，，所以在內單調遞增；

當時，，所以在內單調遞減，

因此是的唯一極值點.

由(1)知.從而

又因為，所以在內有唯一零點.

又在內有唯一零點，從而在內恰有兩個零點.

②由題意，，即，

從而，即.

因為當時，，又，故

兩邊取對數，得，于是

整理得.