Question

【題目】【湖南省2017屆高三長郡中學、衡陽八中等十三校重點中學第一次聯考數學（理）】

已知函數.

（1）當時，試求函數圖像過點的切線方程；

（2）當時，若關于的方程有唯一實數解，試求實數的取值范圍；

（3）若函數有兩個極值點，且不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】試題分析：對于（1），先利用導數求出切線的斜率，再寫出點斜式方程；

對于（2），方程可化為：，構造，通過研究的單調性即可求出的范圍.

對于（3），首先根據有兩個極值點，利用導數求出的取值范圍以及極值點；將恒成立轉化為恒成立，然后構建函數求出的最小值即可.

試題解析：

（1）當時，有.

∵，∴，

∴過點的切線方程為：，

即.

（2）當時，有，其定義域為：，

從而方程可化為：，

令，則，

由或；.

∴在和上單調遞增，在上單調遞減，

且，

又當時，；當時，.

∵關于的方程有唯一實數解，

∴實數的取值范圍是：或.

（3）∵的定義域為：.

令.

又∵函數有兩個極值點，

∴有兩個不等實數根，

∴，且，

從而.

由不等式恒成立恒成立，

∵，

令，

∴，當時恒成立，

∴函數在上單調遞減，∴，

故實數的取值范圍是：.