Question

【題目】已知函數，（為自然對數的底數，）.

（1）判斷曲線在點處的切線與曲線的公共點個數；

（2）當時，若函數有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析：（1）根據導數的幾何意義可得切線方程，然后根據切線方程與聯立得到的方程組的解的個數可得結論．（2）由題意求得的解析式，然后通過分離參數，并結合函數的圖象可得所求的范圍．

詳解：（1）∵，

∴，

∴.

又，

∴曲線在點處的切線方程為．

由得.

故，

所以當，即或時，切線與曲線有兩個公共點；

當，即或時，切線與曲線有一個公共點；

當，即時，切線與曲線沒有公共點.

（2）由題意得，

由，得，

設，

則.

又，

所以當時，單調遞減；

當時，單調遞增．

所以.

又，，

結合函數圖象可得，當時，方程有兩個不同的實數根，

故當時，函數有兩個零點．