Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC= BC=1，E是PC的中點，面PAC⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：ED∥面PAB；
（Ⅱ）若PC=2，PA= ，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．

∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF= ．

又AD=BC，且AD= ，∴AD∥EF且AD=EF，

則四邊形ADEF是平行四邊形．

∴DE∥AF，又DE面ABP，AF面ABP，

∴ED∥面PAB；

（Ⅱ）解：法一、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，

∴四邊形ADCM是平行四邊形，

∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．

∴AB⊥AC，可得 ．

過D作DG⊥AC于G，

∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．

過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在△ADC中， ，連接AE， ．

在Rt△GDH中， ，

∴ ，

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ．

法二、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．

∴四邊形ADCM是平行四邊形，

∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，

∴AB⊥AC．

∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．

如圖以A為原點， 方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標系．

可得 ， ．

設P（x，0，z），（z＞0），依題意有 ， ，

解得 ．

則 ， ， ．

設面PDC的一個法向量為 ，

由 ，取x0=1，得 ．

為面PAC的一個法向量，且 ，

設二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，

則有 ，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ．

【解析】
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．