Question

已知（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中沒有常數項，且2≤n≤8，則n=

5

．

Answer 1

分析：要想使已知展開式中沒有常數項，需（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中無常數項、x^-1項、x^-2項，利用（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的通項公式討論即可．

解答：解：設（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式的通項為T_r+1，則T_r+1=

C

r n

x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，2≤n≤8，
當n=2時，若r=0，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數項，故n≠2；
當n=3時，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數項，故n≠3；
當n=4時，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數項，故n≠4；
當n=5時，r=0、1、2、3、4、5時，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中均沒有常數項，故n=5適合題意；
當n=6時，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數項，故n≠6；
當n=7時，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數項，故n≠7；
當n=8時，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展開式中有常數項，故n≠2；
綜上所述，n=5時，滿足題意．
故答案為：5．

點評：本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，突出考查分類討論思想的應用，屬于難題．