Question

【題目】如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花．若BC＝a，∠ABC＝，設△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2．

(1)用a，表示S1和S2；

(2)當a固定，變化時，求取最小值時的角．

Answer 1

【答案】（1）S1a2sinθcosθ；S2＝；（2）當θ時，的值最小，最小值為．

【解析】

（1）據題三角形ABC為直角三角形，利用三角函數分別求出AC和AB，得出三角形ABC的面積S1；

設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數分別表示出BQ和RC，由BQ+QR+RC＝a列出方程求出x，算出S2；

（2）化簡比值，設t＝sin2θ來化簡求出S1與S2的比值，利用三角函數的增減性求出比值的最小值以及對應此時的θ．

（1）在Rt△ABC中，AB＝acosθ，AC＝asinθ，

所以S1ABACa2sinθcosθ；

設正方形的邊長為x則BP，AP＝xcosθ，

由BP+AP＝AB，得xcosθ＝acosθ，

解得x；

所以S2＝x2；

（2）

sin2θ+1，

令t＝sin2θ，因為 0＜θ，

所以0＜2θ＜π，則t＝sin2θ∈（0，1]，

所以t+1；

設g（t）t+1，

則g′（t），t∈（0，1]；

所以函數g（t）在（0，1]上遞減，

因此當t＝1時g（t）有最小值g（t）min＝g（1）1+1，

此時sin2θ＝1，解得θ；所以當θ時，的值最小，最小值為．