Question

【題目】已知函數 若f（x1）=f（x2），且x1＜x2，關于下列命題：（1）f（x1）＞f（﹣x2）；（2）f（x2）＞f（﹣x1）；（3）f（x1）＞f（﹣x1）；（4）f（x2）＞f（﹣x2）．正確的個數為（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】函數f（x）的定義域為R．

f′（x） ,

當x＜0時，f′（x）＞0；當x＞0時，f′（x）＜0．

∴函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，0），單調遞減區間為（0，+∞）．

由f（x1）=f（x2），且x1＜x2，可知x1＜0，x2＞0，

當x＜1時，由于＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，當x＞1時，f（x）＜0．

由上可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．

下面證明：x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），

即證＜．

此不等式等價于 ．

令g（x）=，則g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．

當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

∴g（x）＜g（0）=0．

即．

∴x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．

由x1∈（﹣∞，0），可知f（x1）＜f（﹣x2），故（1）錯誤；

f（x1）＞f（﹣x1），故（3）正確；

由x2∈（0，1），可知f（x2）＞f（﹣x1），故（2）正確；

f（x2）＜f（﹣x2），故（4）錯誤．

∴正確命題的個數是2個．

故選：B．