Question

在(

x

+

2

x2

)n的展開式中，第3項的系數與倒數第3項的系數之比為

1

16

．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）展開式的哪幾項是有理項（回答項數即可）；
（Ⅲ）求出展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（I）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令r 分別為2，n-2得到第3項的系數與倒數第3項的系數，根據已知條件列出方程，求出n的值．
（II）利用（I）的結果代入展開式的通項，令x的指數為整數，求出r的值得到展開式的有理項．
（III）設出展開式的系數最大的項，令其系數大于等于它前一項的系數同時大于等于它后一項的系數，列出不等式組，求出展開式中系數最大的項．

解答：解：（Ⅰ）(

x

+

2

x2

)n展開式的通項為Tr+1=2r

C

r n

x

n-5r

2

令r=2得展開式第3項的系數為2²C_n²=4C_n²，
令r=n-2得倒數第3項的系數是 2^n-2C_n^n-2=2^n-2C_n²
所以有16×4C_n²=2^n-2C_n²：，
解得n=8；
（Ⅱ）當 n=8時，展開式的通項為Tr+1=2r

C

r 8

x

8-5r

2

要為有理項則

8-5r

2

 為整數，此時 r可以取到0，2，4，6，8，
所以有理項分別是第1項，第3項，第5項，第7項，第9項；
（Ⅲ）設第 k項系數的最大，
∴

2k C k 8 ≥2k+1 C k+1 8 2k C k 8 ≥2k-1 C k-1 8

，
解得k=6或7，
故系數的最大的項是第6項和第7項，
∴分別展開式中系數最大的項為T₆=25

C

5 8

x-

17

2

=1792x-

17

2

，T₇=1792x^-11

點評：解決二項展開式的特定項問題，一般利用二項展開式的通項公式作為工具；解決二項展開式的項的系數和問題，常設出最大的系數的項，然后令其系數大于等于它前一項的系數同時大于等于它后一項的系數．