Question

（2012•石景山區一模）定義：若數列{A_n}滿足An+1=An2，則稱數列{A_n}為“平方遞推數列”．已知數列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數．
（1）證明：數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”，且數列{lg（2a_n+1）}為等比數列．
（2）設（1）中“平方遞推數列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數列{a_n}的通項及T_n關于n的表達式．
（3）記bn=log2an+1Tn，求數列{b_n}的前n項之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=2x²+2x的圖象上，可得數列遞推式，再進行變形，利用定義即可得到結論；
（2）先確定an=

1

2

(52n-1-1)，再利用對數運算，即可求得T_n關于n的表達式；
（3）因為bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，所以S_n=2n-2+2(

1

2

)n，再根據S_n＞2011，即可求得n的最小值．

解答：（1）證明：由條件得：an+1=2an2+2an，
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2，
∴{2a_n+1}是“平方遞推數列”．                          …（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2，
∴{lg（2a_n+1）}為等比數列． …（6分）
（2）解：∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg(2an+1)=lg5•2n-1，
∴2an+1=52n-1
∴an=

1

2

(52n-1-1)．                                   …（8分）
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=

lg5•(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1．                                       …（10分）
（3）解：bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，…（12分）
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2[1-(

1

2

)n]
=2n-2+2(

1

2

)n．                          …（14分）
由S_n＞2011，得2n-2+2(

1

2

)n＞2011，n+(

1

2

)n＞1006+

1

2

，
當n≤1006時，n+(

1

2

)n＜1006+

1

2

，當n≥1007時，n+(

1

2

)n＞1006+

1

2

，
因此n的最小值為1007．                   …（16分）

點評：本題考查數列的應用，考查新定義，考查數列的通項與求和，解題的關鍵是理解新定義，確定數列的通項．