Question

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．(12分)

（1）求橢圓的方程；（3分）
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；（4分）
（3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，求證：為定值．（5分）

Answer 1

（1）；（2），；（3）定值為4.

試題分析：（1）通過離心率和的值求出橢圓的方程.（2）假設M,N坐標求出的式子.M,N又在橢圓上同時M的坐標與N的坐標是對成的.根據M的橫坐標的范圍求出的范圍.（3）假設P點的坐標根據M的坐標寫出直線PR，并求出R的坐標。類似寫出S的坐標.坐標都轉化為M點的坐標表示形式.即可求出定值.本題知識量較大.涉及橢圓的標準方程的求法，最值問題，定值問題，這些問題的切入點都不好把握.要做好這類型題要有化歸的思想，整理化簡的能力，整體把握解題思路的能力.
試題解析：（1）依題意，得，，∴；
故橢圓的方程為．
（2）方法一：點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．
由于點在橢圓上，所以．
由已知，則，，
所以
．
由于，故當時，取得最小值為．
由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．
故圓的方程為：．
(3)設，則直線的方程為：，
令，得，同理：，
故
又點與點在橢圓上，故，，
代入（**）式，得：．
所以為定值．