Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的漸近線與拋物線 交于點(diǎn)O，A，B，且的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為______；如果與在第一象限內(nèi)有且只有一個公共點(diǎn)，且，那么的方程為____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由雙曲線的漸近線與拋物線聯(lián)立，求得或，取，設(shè)垂心，得到，再根據(jù)垂心的性質(zhì)，求得，利用離心率的定義，可求得雙曲線的離心率，再由雙曲線與拋物線的聯(lián)立方程組，利用，求得，即可得到拋物線的方程．

由題意，雙曲線的漸近線為，

與拋物線聯(lián)立，可得或，

取，設(shè)垂心，則，

因?yàn)?/span>的垂心為的焦點(diǎn)，所以，整理得，

即，即，所以，

又由，則，所以曲線，

與拋物線聯(lián)立方程組，可得，即，

因?yàn)榍�線與在第一象限內(nèi)有且只有一個公共點(diǎn)，

所以，解得，所以．

故答案為：，．