Question

【題目】在平面直角坐標系中取兩個定點，，再取兩個動點，，且.

(1)求直線與的交點的軌跡的方程；

(2)過的直線與軌跡交于兩點，過點作軸且與軌跡交于另一點，為軌跡的右焦點，若，求證：

Answer 1

【答案】(1)； (2)證明見解析

【解析】

(1)由直線所過兩點可得直線和的方程，設為兩直線交點，則兩方程做乘法整理可得所求軌跡方程；

(2)設過直線及坐標，將直線方程與橢圓方程聯立整理可得韋達定理的形式；由可得；通過分析法可知，若要證，只需證得，將等式整理后可知最終只需證得，將韋達定理的結論代入即可知等式成立，即所證成立.

(1)由題意知，直線的方程為：…①

直線的方程為：…②

設是直線與的交點，

①×②得：，整理得：

即點的軌跡的方程為：

(2)證明：設過點的直線，，，則

由消去得：

，

由得：

由(1)知：，則要證，即證

只需證，只需

即證

又，

，即

成立 成立