Question

【題目】已知橢圓（是大于的常數）的左、右頂點分別為、，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線、與直線分別交于、兩點（設直線的斜率為正數）.

（Ⅰ）設直線、的斜率分別為， ，求證為定值.

（Ⅱ）求線段的長度的最小值.

（Ⅲ）判斷“”是“存在點，使得是等邊三角形”的什么條件？（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)既不充分也不必要條件．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得直線的斜率，直線的斜率，據此計算則有為定值．

(Ⅱ)結合點的坐標求得MN的長度表達式，結合均值不等式的結論可得線段長度的最小值為．

(Ⅲ)結合圓錐曲線的性質可知“”是“存在點，使得是等邊三角形”的既不充分也不必要條件．

試題解析：

（Ⅰ）設，則，即，

∴直線的斜率，直線的斜率，

∴，

故為定值．

（Ⅱ）直線方程為，∴點坐標，

直線方程為，∴點坐標，

∴，

∴

．

故線段長度的最小值為．

（Ⅲ）“”是“存在點，使得是等邊三角形”的既不充分也不必要條件．