Question

【題目】已知在三棱臺中，，，平面．

（1）證明；

（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）在中，先通過勾股定理的逆定理得出，然后利用線面垂直的判定定理和性質定理進行證明即可；（2）先根據題意找到所求的線面角，然后解三角形，得到所求線面角的正弦值．

（1）證明∵，，

∴，

∴．

∵平面，平面平面，∴平面．

又平面，∴．

∵，平面，平面，∴平面．

∵平面，∴．

（2）解：過作于點，∵平面，平面，∴．

又，平面，平面，

∴平面，

連接，則即直線與平面所成的角．

在三棱臺中，∵，平面，

∴，，由（1）知為直角三角形，

∴為直角三角形．

又為的中點，∴，

∴為等邊三角形，為的中點，∴，

∴，

即直線與平面所成角的正弦值為．