Question

【題目】在直三校柱中，是等直角三角形，，，M是AB的中點，且．

（1）求的長；

（2）已知點N在棱上，若平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值為，試確定點N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）N在棱的中點處．

【解析】

（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，利用直線垂直向量的數量積為0，可得關于的方程，解方程即可得答案；

（2）由（1）知，設，所以，，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量為，再代入向量的夾角公式，即可得答案；

（1）建立如圖所示的空間直角坐標系．

設．

由得，

則，，，，

所以，．

因為，所以，

解得，即的長為．

（2）由（1）知

設，所以，．

設平面的一個法向量為．

由，得，取．

易知平面的一個法向量為，

設平面與平面所成銳二面角的平面角為，

．

解得或（舍去）

所以N在棱的中點處．