Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n,已知a₁=1,S_n+1=2S_n+n+1(n∈N^*),則數列{a_n}的通項公式a_n=　　　.

Answer 1

2ⁿ-1

∵S_n+1=2S_n+n+1,當n≥2時S_n=2S_n-1+n,
兩式相減得:a_n+1=2a_n+1,
∴a_n+1+1=2(a_n+1),
即=2.
又S₂=2S₁+1+1,a₁=S₁=1,
∴a₂=3,∴=2,
∴{a_n+1}是首項為2,公比為2的等比數列,
∴a_n+1=2ⁿ即a_n=2ⁿ-1(n∈N^*).
【方法技巧】含S_n,a_n問題的求解策略
當已知含有S_n+1,S_n之間的等式時,或者含有S_n,a_n的混合關系的等式時,可以采用降級角標或者升級角標的方法再得出一個等式,兩個等式相減就把問題轉化為數列的通項之間的遞推關系式.