Question

【題目】已知函數g（x）=x+ ﹣2．
（1）證明：函數g（x）在[ ，+∞）上是增函數；
（2）若不等式g（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設 ≤x1＜x2，

∵g（x1）﹣g（x2）= ，

∵ ≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2＜x1x2，即x1x2﹣2＞0．

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

所以函數g（x）在[ ，+∞）上是增函數

（2）解：g（2x）﹣k2x≥0，可化為2x+ ﹣2≥k2x，

化為1+2 ﹣2 ≥k，

令t= ，則k≤2t2﹣2t+1，

因x∈[﹣1，1]，故t∈[ ，2]，

記h（t）=2t2﹣2t+1，因為t∈[ ，2]，故h（t）max=5，

所以k的取值范圍是（﹣∞，5]

【解析】（1）根據函數單調性的定義證明即可；（2）問題化為1+2 ﹣2 ≥k，令t= ，則k≤2t2﹣2t+1，從而求出k的范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較即可以解答此題．