Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）均在拋物線(xiàn)上．

（1）寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1+y2的值及直線(xiàn)AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知條件，可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2=2px

∵點(diǎn)P（1，2）在拋物線(xiàn)上∴22=2p×1，得p=2

故所求拋物線(xiàn)的方程是y2=4x

準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=﹣1

（2）解：設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA，直線(xiàn)PB的斜率為kPB

則 ，

∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)

∴kPA=﹣kPB

由A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線(xiàn)上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）

∴

∴y1+2=﹣（y2+2）

∴y1+y2=﹣4

由（1）﹣（2）得直線(xiàn)AB的斜率

【解析】（1）設(shè)出拋物線(xiàn)的方程，把點(diǎn)P代入拋物線(xiàn)求得p則拋物線(xiàn)的方程可得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程．（2）設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA ， 直線(xiàn)PB的斜率為kPB ， 則可分別表示kPA和kPB ， 根據(jù)傾斜角互補(bǔ)可知kPA=﹣kPB ， 進(jìn)而求得y1+y2的值，把A，B代入拋物線(xiàn)方程兩式相減后即可求得直線(xiàn)AB的斜率．