Question

【題目】平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為.

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求異面直線與夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）AC1的長(zhǎng)為；（2）AC與BD1夾角的余弦值為。

【解析】

試題（1）記＝a，＝b，＝c，并將其作為一組基底，利用空間向量的基本定理表示出，然后利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；（2）利用向量夾角求兩條異面直線夾角，但注意向量夾角為銳角或直角時(shí)兩者相等，當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩者互補(bǔ)。

試題解析：（1）記＝a，＝b，＝c，

則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝．

||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×＝6，

∴||＝，即AC1的長(zhǎng)為．

（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，

·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．

∴cos〈，〉＝＝．

∴AC與BD1夾角的余弦值為．