Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， 和均為等邊三角形，且平面平面，點為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先證四邊形為矩形 ， ，再證得， ， 四邊形是平行四邊形 面；(2)先建立坐標系求得面、面的法向量分別為， ， 所求的余弦值： .

試題解析：（1）過點作交于點，連接；

取的中點，連接

∵是等邊底邊的中線，

∴.

∵，

∴四邊形為矩形，

∴， .

∵為底邊的中位線

∴， ，

∴， ，

四邊形是平行四邊形，

∴，

∵面，

∴面.

（2）以點為坐標原點， 為軸正方向， 為單位長度建立空間直角坐標系

如圖所示，各個點的坐標為， ， ，

因此向量， ， .

設面、面的法向量分別為， ，

則，不妨令，解得，同理得

設平面與平面所成的銳二面角為，

則