Question

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點分別為，且關于直線的對稱點在直線上.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過焦點垂直軸的直線被橢圓截得的弦長為，斜率為的直線交橢圓于，兩點，問是否存在定點，使得，的斜率之和為定值？若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）滿足條件的定點是存在的，坐標為及

【解析】試題分析：（1）先求關于直線的對稱點坐標，再代入得，即得離心率，（2）先根據過焦點垂直軸的直線被橢圓截得的弦長為，求橢圓方程，再用坐標表示，的斜率之和，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡，最后根據等式恒成立條件解出點坐標.

試題解析：（1）依題知，設，則且，解得，即

∵在直線上，∴，，∴

（2）由（1）及題設得：且，∴，，∴橢圓方程為

設直線方程為，代入橢圓方程消去整理得.依題，即

設，，則，

如果存在使得為定值，那么的取值將與無關

，令

則為關于的恒等式

∴，解得或

綜上可知，滿足條件的定點是存在的，坐標為及