Question

已知f（x）=ax-lnx＞0對(duì)一切x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范是

（

1

e

，+∞）

．

Answer 1

分析：f′（x）=a-

1

x

，（x＞0），由f′（x）=a-

1

x

=0，得a=

1

x

＞0．從而導(dǎo)出f（x）=ax-lnx在a=

1

x

，即x=

1

a

時(shí)，取最小值：f(x)min=f(

1

a

) =1-lna＞0，所以0＜lna＜1，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f′（x）=a-

1

x

，（x＞0）
∴由f′（x）=a-

1

x

=0，得a=

1

x

＞0
∴由f′（x）=a-

1

x

＞0，得a＞

1

x

，
x＞

1

a

時(shí)f（x）=ax-lnx是增函數(shù)，增區(qū)間是（

1

a

，+∞）．
∴由f′（x）=a-

1

x

＜0，得a＜

1

x

，
∴x＜

1

a

時(shí)f（x）=ax-lnx是減函數(shù)，減區(qū)間是（0，

1

a

）；
∴f（x）=ax-lnx在x=

1

a

時(shí)，取最小值：
f(x)min=f(

1

a

) =1-ln(

1

a

)＞0，
∴0＜ln（

1

a

）＜1，
∴e＞

1

a

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

1

e

，+∞）．
故答案為：（

1

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)a的取值范圍，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．