Question

如圖，A、B為半橢圓

y2

4

+x2=1(y≥0)的兩個頂點，F為上焦點，將半橢圓和線段AB合在一起稱為曲線C．
（1）求△ABF的外接圓圓心；
（2）過焦點F的直線L與曲線C交于P、Q兩點，若|PQ|=2，求所有滿足條件的直線L；
（3）對于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點距離的最大值稱為該曲線的“直徑”．如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長軸的長．求該曲線C的“直徑”．

Answer 1

分析：（1）先判斷△ABF的形狀，為邊長為2的等邊三角形，再利用等邊三角形的性質求圓心坐標即可．
（2）先討論P，Q點的位置，只能兩點都在橢圓上，設出PQ方程，與橢圓方程聯立，解x₁+x₂，x₁x₂，用弦長公式求出
|PQ|的長，用含k的式子表示，根據|PQ|=2，就可求出k值．
（3）先設曲線C上兩動點的坐標，代入兩點間距離公式，再根據利用放縮法，以及橢圓上點的范圍即可求出兩點連線的范圍，求出“直徑”長．

解答：解：（1）A（-1，0），B（1，0），F（0，

3

），故△ABF是邊長為2的等邊三角形，外接圓半徑R=

2 3

3

，故圓心為（0，

3

3

）    
（2）記橢圓的上頂點為D（0，2），若直線L與曲線C的兩交點一個在橢圓上，一個在線段AB上，
如圖．因為FQ≥FD，FP≥FO，即此時|PQ|≥|OD|=2，
故只有直線x=0符合題意；
設點P、Q都在橢圓上，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線L：y=kx+

3

，則

y2 4 +x2=1 y=kx+3

⇒（k²+4）x²+2

3

kx-1=0

x1+x2=- 2 3 k k2+4 x1x2=- 1 k2+4

⇒（x₁-x₂）²=

16(k2+1)

(k2+4)2

所以|PQ|=

k2+1

| x1-x2|=

4(k2+1)

(k2+4)2

=2，得k=±

2

經檢驗，滿足題意的直線L有三條，分別為x=0，y=

2

x+

3

，y=-

2

x+

3

（3）設曲線C上兩動點G（x，y），H（x₀，y₀），
顯然G、H至少有一點在橢圓上時GH才能取得最大，不妨設y≥y₀≥0，則
|GH|²=（x-x₀）²+（y-y₀）²≤（x-x₀）²+y²=（x-x₀）²+4（1-x²）
=-3x²-2x₀x+x₀²+4=-3(x+

x0

3

)2+

4x02

3

+4≤

4x02

3

+4≤

4

3

+4=

16

3

等號成立時G（

4 2

3

，

1

3

），H（-1，0）或G（-

4 2

3

，

1

3

），H（1，0），故曲線C的直徑為

4 3

3

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線相交時弦長公式的應用，韋達定理的應用，兩點間距離公式的應用．