Question

【題目】某學校在一塊圓心角為，半徑等于的扇形空曠地域（如圖）組織學生進行野外生存訓練，已知在O，A，B處分別有50名，150名，100名學生，現要在道路OB（包括O，B兩點）上設置集合地點P，要求所有學生沿最短路徑到P點集合，則所有學生行進的最短總路程為_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

設，以為變量，利用正弦定理求得每條路線的長度，然后建立總路程關于的函數表達式，利用導數求出其最小值，求解時注意討論和重合的情況．

連接，當集合地點在處時，，

所有學生行進的總路程為．

當集合地點不在處時，設，則．

在中，由正弦定理可得，

所以，，所以．

設所有學生行進的總路程為，

則

．

令，則，令，得，

又，在上單調遞減，

所以根據復合函數的單調性知，當時，單調遞減；

當時，單調遞增．

所以當時，取得最小值，

此時．

故答案為：.