Question

在正方形中隨機撒一把豆子，通過考察落在其內切圓內黃豆的數目，用隨機模擬的方法可計算圓周率P的近似值（如圖）
（1）用兩個均勻隨機數x，y構成的一個點的坐標（x，y）代替一顆豆子，請寫出隨機模擬法的方案；
（2）以下程序框圖用以實現該模擬過程，請將它補充完整．（注：rand是計算機在Excel中產生[0，1）區間上的均勻隨機數的函數）

Answer 1

分析：用隨機模擬的方法可以估算點落在圓內的概率，由幾何概率公式可得點落在圓內的概率為，這樣就可以計算圓的面積，應用圓面積公式可得S_圓=πr²=π，所以上面求得的S_圓的近似值即為π的近似值

解答：解：（1）具體方案如下
①利用計算機產生兩組[0，1]上的均勻隨機數，x=RAND，y=RAND；
②統計試驗總次數N和落在陰影內的點數N₁（滿足條件x²+y²≤1的點（x，y）的個數）；
③計算頻率

N1

N

，即為點落在圓內的概率的近似值；
④設圓的面積為S，由幾何概率公式得點落在陰影部分的概率為P=

S

4

．
∴

S

4

=

N1

N

．
∴S≈

4N1

N

，即為圓的面積的近似值．
    又S_圓=πr²=π，∴π=S≈

4N1

N

，即為圓周率的近似值．
（2）由題意
第一個判斷框中應填x²+y²≤1
其下的處理框中應填m=m+1
退出循環體后的處理框中應填P=

m

n

點評：本題考查模擬方法估計概率，解題的關鍵是理解模擬方法求概率的原理及隨機數產生的原理，本題是模擬方法求概率的應用，這是現代數學求圓周率常用的方法，利用現代高科技求解數學問題．