Question

 如果定義域為的函數同時滿足以下三個條件:

① 對任意的，總有≥0；

_②；

③若且，則有成立。

那么稱為“友誼函數”。

請解答下列各題：

   （1）若已知為“友誼函數”，求的值；

   （2）函數在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由．

   （3）已知為“友誼函數”,假定存在,使得且,求證:

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）取得,又由，得

   （2）顯然在上滿足①②，

若，且，則有

故滿足條件①﹑②﹑③所以為友誼函數．

   （3）由③知任給其中，且有，則0＜＜１，

所以

依題意必有,下面用反證法證明:

若,則,這與矛盾;

若,則,這與矛盾

故由上述﹑證明知假設不成立,則必有成立．