Question

△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2=

1

2

bc．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos2

A

2

+cos2A的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過b2+c2-a2=

1

2

bc根據(jù)余弦定理可求出cosA的值．
（Ⅱ）利用二倍角公式對cos2

A

2

+cos2A化簡，把（Ⅰ）中cosA的值代入即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵b2+c2-a2=

1

2

bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

4

．
∴cosA=

1

4

．
（Ⅱ）∵cos2

A

2

+cos2A=

1

2

+

1

2

cosA+2cos2A-1
=2cos²A+

1

2

cosA-

1

2

，
由（Ⅰ）知cosA=

1

4

，代入上式得cos2

A

2

+cos2A=2（

1

4

）²+

1

2

×

1

4

-

1

2

=-

1

4

．

點評：本題主要考查了余弦定理和二倍角公式的應用．余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活．