Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為，且過點M。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標；若不能，請說明理由。

Answer 1

（1）（2）存在，

試題分析：（1）用橢圓的定義可求，根據焦距和可求；也可將點代入設出的橢圓方程解方程組求。（2）用點差法求直線的斜率，設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，直線與橢圓的焦點即為所求點。
試題解析：（1）（方法一）依題意，設橢圓方程為，  1分
則，                  2分
因為橢圓兩個焦點為，所以
="4"   4分
                   5分
橢圓的方程為                 6分
（方法二）依題意，設橢圓方程為，      1分
則，即，解之得    5分
橢圓C的方程為                  6分
（2）如圖

（方法一）設兩點的坐標分別為，
則                  7分
     ①        ②
①-②，得,
       9分
設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為
聯立方程組，消去整理得
由判別式得        12分
由圖知，當時，與橢圓的切點為，此時
的面積最大

所以點的坐標為      14分
（方法二）設直線的方程為，聯立方程組，
消去整理得 
設兩點的坐標分別為，則
所以直線AB的方程為，即 9分（以下同法一）