Question

【題目】對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f（x）稱為G函數．

①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；

②當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函數g（x）=x2與h（x）=2x﹣b是定義在[0，1]上的函數．

（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；

（2）若函數h（x）是G函數，求實數b組成的集合．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）b∈{1}

【解析】

（1）是，理由如下：

當x∈[0，1]時，總有g（x）=x2≥0，滿足①，

當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，

g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），滿足②

（2）h（x）=2x﹣b為增函數，h（x）≥h（0）=1﹣b≥0，

∴b≤1，

由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），﹣b+﹣b，

即b≥1﹣（﹣1）（﹣1），

∵x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，

∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同時等于1

∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1；

∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1，

當x1=x2=0時，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值為1；

∴b≥1，則b=1，

綜合上述：b∈{1}