Question

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設數列{c_n}滿足c_n=

1

Sn

，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用待定系數法，建立方程組，求出d，q，即可求a_n與b_n；
（Ⅱ）確定數列{c_n}的通項，利用裂項法，可求{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，
因為

b2+S2=12 q= S2 b2

所以

q+6+d=12 q= 6+d q

…（2分）
解得 q=3或q=-4（舍），d=3．                          …（4分）
故a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．                         …（6分）
（Ⅱ）∵S_n=

n(3+3n)

2

，
∴c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

2

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2

3

（1-

1

n+1

）=

2n

3(n+1)

．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，屬于中檔題．