Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=1，點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）設(shè)b_n=log₃a_n+1，T_n是數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和，求T₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）求出數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∵a₁=1，∴a₂=2S₁+1=3，則

a2

a1

=3，
當(dāng)n≥1時(shí){a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
∴an=1•3n-1=3n-1．
（2）由（1）得知an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=n，

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，
T2014=

1

b1b2

+…+

1

b2014b2015

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2014

-

1

2015

)=

2014

2015

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷以及數(shù)列求和，要求熟練掌握裂項(xiàng)法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．