Question

已知F₁，F₂是橢圓C的左右焦點，過F₁的直線l與橢圓C交與A，B兩點．若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，則橢圓C的離心率是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓的定義可得△ABF₂的周長為4a=12，即a=3．再分別在△ABF₂中，在△AF₁F₂中由余弦定理，即可得到c=

5

，再由離心率公式，即可得到．

解答： 解：不妨設|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
由橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，△ABF₂的周長為12，則4a=12，即a=3．
則|AF₁|=2a-5=1，且|F₁F₂|=2c，
在△ABF₂中，運用余弦定理得cosA=

32+52-42

2×3×5

=

3

5

，
在△AF₁F₂中，cosA=

1+25-4c2

2×1×5

=

3

5

，
解得c=

5

，
則橢圓的離心率為e=

c

a

=

5

3

，
故答案為：

5

3

．

點評：本題考查橢圓的定義、性質的運用，考查解三角形的知識：余弦定理，考查運算能力，屬于中檔題．