Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+bx﹣c，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在區(qū)間 內(nèi)，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f′（x）= +b，則f′（1）=1+b，

∵在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0，

∴切線斜率為﹣1，則1+b=﹣1，得b=﹣2，

將（1，f（1））代入方程x+y+4=0，

得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=﹣5，

∴f（1）=b﹣c=﹣5，將b=2代入得c=3，

故f（x）=lnx﹣2x﹣3

（2）解：依題意知函數(shù)的定義域是（0，+∞），且f′（x）= ﹣2，

令f′（x）＞0得，0＜x＜ ，令f′（x）＜0得，x＞ ，

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ），單調(diào)減區(qū)間為（ ，+∞）

（3）解：由f（x）≥2lnx+kx，k≤﹣2﹣ 在區(qū)間 內(nèi)恒成立，

設(shè)g（x）=﹣2﹣ ，則g′（x）= ，

∴g（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞增，

∴g（x）的最小值為g（ ）=2ln2﹣8，

∴k≤2ln2﹣8

【解析】（1）由求導(dǎo)公式、法則求出f′（x），根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出b的值，將（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；（2）由（1）求出函數(shù)的定義域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤﹣2﹣ 在區(qū)間 內(nèi)恒成立，求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．