Question

用長為16米的籬笆，借助墻角圍成一個矩形ABCD（如圖），在P處有一棵樹與兩墻的距離分別為a米（0＜a＜12）和4米．若此樹不圈在矩形外，求矩形ABCD面積的最大值M．

Answer 1

分析：先設AB=x，則AD=16-x，依題意建立不等關系得出x的取值范圍，再寫出S_ABCD=的函數解析式，下面分類討論：（1）當16-a＞8（2）當16-a≤8，分別求出矩形ABCD面積的面積值即可．

解答：解：設AB=x，則AD=16-x，依題意得

x≥4 16-x≥a

，
即4≤x≤16-a（0＜a＜12）（2分）
S_ABCD=x（16-x）=64-（x-8）²．（6分）
（1）當16-a＞8，即0＜a＜8時，
f（x）_max=f（8）=64（10分）
（2）當16-a≤8，即8≤a＜12時，
f（x）在[4，16-a]上是增函數，（14分）
∴f（x）_max=f（16-a）=-a²+16a，
故M=

64(0＜a＜8) -a2+16a(8≤a＜12)

．（16分）

點評：構造二次函數模型，函數解析式求解是關鍵，然后利用配方法、數形結合法等方法求解二次函數最值，但要注意自變量的實際取值范圍，本題求出的函數是分段函數的形式，在分段函數模型的構造中，自變量取值的分界是關鍵點，只有合理的分類，正確的求解才能成功地解題．